Question

在鈍角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，

m

=（2sinB-sinC，cosC），

n

=（sinA，cosA），且

m

∥

n

．
（1）求角A的大��；
（2）求函數(shù)y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：計算題,分類討論,三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用兩向量共線的坐標(biāo)表示，以及兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，即可得到A；
（2）運用二倍角公式及兩角差的正弦公式，得到y(tǒng)=sin（2B-

π

6

）+1，討論當(dāng)角B為鈍角，角C為銳角時，以及當(dāng)角B為銳角，角C為鈍角時分別求得B的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到值域．

解答： 解：（1）由

m

∥

n

得，
2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0，
∵sin（A+C）=sinB，
∴2sinBcosA-sinB=0，
∵B、A∈（0，π），∴sinB≠0，
∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=1-

1

2

cos2B+

3

2

sin2B=sin（2B-

π

6

）+1，
當(dāng)角B為鈍角時，角C為銳角，則

π

2

＜B＜π，0＜

2π

3

-B＜

π

2

⇒

π

2

＜B＜

2π

3

，
∴

5π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，∴sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，

1

2

），
∴y∈（

1

2

，

3

2

）．
當(dāng)角B為銳角時，角C為鈍角，則
0＜B＜

π

2

，

π

2

＜

2π

3

-B＜π，⇒0＜B＜

π

6

，
∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

π

6

，∴sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，

1

2

），
∴y∈（

1

2

，

3

2

），
綜上，所求函數(shù)的值域為（

1

2

，

3

2

）．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查三角函數(shù)的值域，考查三角形的內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式和二倍角公式及和差公式，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．