Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+mx2，其中m為實數．
（1）函數f（x）在x=-1處的切線斜率為

1

3

，求m的值；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）若f（x）在x=-2處取得極值，直線y=a與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，由已知在x=-1處f（x）的切線斜率為

1

3

，代入可得f'（-1）=

1

3

，進一步得到m的值．
（2）利用導數f^′（x）=x²+2mx，對參數m要分m=0，m＞0，m＜0三種情況來討論，可借助于x，f'（x），f（x）的變化情況表來解得函數的單調區(qū)間．
（3）f（x）在x=-2處取得極值，即有f'（-2）=0可得到m的值，代入函數解析式y(tǒng)=f（x）求得極值，由函數的圖象與直線有三個不同的交點，尋求函數的極值點，得到極值，通過比較函數的極值于參數a之間的關系即可得到結論．

解答：解：（1）f'（x）=x²+2mx，f'（-1）=1-2m
由1-2m=

1

3

，解得m=

1

3

．
（2）f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）
①當m=0時，f(x)=

1

3

x3，在（-∞，+∞）上單調遞增；
②當m＞0時x變化時，f'（x），f（x）的變化狀態(tài)如下表：

x	（-∞，-2m）	-2m	（-2m，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-2m）和（0，+∞），單調遞減區(qū)間是（-2m，0）．
當m＜0時x變化時，f'（x），f（x）的變化狀態(tài)如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，-2m）	-2m	（-2m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，0）和（-2m，+∞），單調遞減區(qū)間是（0，-2m）．
綜上：當m=0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，+∞）；
當m＞0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，-2m）和（0，+∞），單調遞減區(qū)間是（-2m，0）；
當m＜0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，0）和（-2m，+∞），單調遞減區(qū)間是（0，-2m）．
（3）由題意f'（-2）=0，解得m=1．
所以，f(x)=

1

3

x3+x2
由（2）知f（x）在區(qū)間（-∞，-2）上遞增，在（-2，0）上遞減，（0，+∞）上遞增
所以f(x)極大=f(-2)=

4

3

，f（x）_極小=f（0）=0，
要使直線y=a與y=f（x）的圖象有三個不同的交點
只需，0＜a＜

4

3

．

點評：本題考查函數的導數以及導數的幾何意義，利用導數求解函數的單調性和極值問題，考查了二次函數的性質，綜合考查了函數與方程的思想，轉化與化歸的思想，以及分類討論等數學思想，在求含參數的函數的單調區(qū)間時對學生的能力有較高的要求．