Question

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=1時，f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1，易求值域f（x）∈（0，1），并判斷為f（x）在（-∞，0）上是為有界函數(shù)．
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，則有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．轉(zhuǎn)化為不等式（組）恒成立問題．

解答：解：（1）當m=1時，f(x)=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1
∵x＜0，∴0＜2^x＜1，
∴f（x）∈（0，1），滿足|f（x）|≤1，
f（x）在（-∞，0）上是為有界函數(shù)．
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，則有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，即-3≤

1-m•2x

1+m•2x

≤3，

1-m•2x 1+m•2x -3≤0 1-m•2x 1+m•2x +3≥0

化簡得

m•2x+2+2 1+m•2x ≥0 m•2x+1+4 1+m•2x ≥0

，即

m＜- 1 2x 或m≥-  1 2x+1 m≤- 2 2x 或m＞- 1 2x

上面不等式組對一切x∈[0，1]都成立，
故取

m＜-1或m≥- 1 4 m≤-2或m＞- 1 2

，即m≤-2或m≥-

1

4

．

點評：本題主要考查函數(shù)值域求解，恒成立問題．考查轉(zhuǎn)化、計算能力．