Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為DD₁、DB的中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥EF；
（Ⅱ）求三棱柱B₁-CEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題意，欲證線線垂直，可先證出CF⊥DBB₁D₁，再由線面垂直的性質(zhì)證明CF⊥EF即可；
（Ⅱ）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后再由棱錐的體積公式即可求得體積．

解答： （Ⅰ）證明：正方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁，F(xiàn)為DB的中點，∴CF⊥DB，
∵DD₁⊥平面ABCD，CF?平面ABCD，∴DD₁⊥CF，
∴CF⊥DBB₁D₁，
又EF?平面DBB₁D₁，∴CF⊥EF．…（6分）
（Ⅱ）解：∵CF⊥DBB₁D₁，∴CF⊥B₁EF，
又CF=BF=

2

，EF=

1

2

BD1=

3

，B1F=

BF2+BB12

=

( 2 )2+22

=

6

，B1E=

B1D12+D1E2

=

(2 2 )2+12

=3，
故有EF2+B1F2=B1E2，∴△B₁EF為直角三角形，∴S△B1EF=

1

2

×

3

×

6

=

3 2

2

，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

S△B1EF×CF=

1

3

×

3 2

2

×

2

=1．…（12分）

點評：本題考查線面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間感知能力及判斷推理的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定理及公式．