Question

在邊長(zhǎng)為3的正△ABC中，E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上且AE=CF=1，（如圖1）現(xiàn)將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使面A₁EF⊥面BEF（如圖2）

（1）求證：A₁E⊥CF
（2）若點(diǎn)P在BC邊上，且CP=1，連結(jié)A₁B，A₁P，求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件得EF⊥AD，A₁E⊥EF，A₁E⊥平面BEF．由此能證明A₁E⊥CF．
（2）由（1）知A₁E⊥平面BEF，BE⊥EF，建立坐標(biāo)系，利用向量法能直線A₁E與平面A₁BP所成角的大�。�

解答： （本題滿(mǎn)分12分）
（1）證明：在圖1中，由AF=AD=2，而∠A=60°，
得△△ADF是正三角形．（2分）
又∵AE=ED=1，∴EF⊥AD，
∴在圖2中有A₁E⊥EF，（4分）
∵面A₁EF⊥面BEF，交線為EF，
∴A₁E⊥平面BEF．
又CF?面BEF，∴A₁E⊥CF．（6分）
（2）解：由（1）知A₁E⊥平面BEF，BE⊥EF，
如圖建立坐標(biāo)系，（8分）
則E（0，0，0），A₁（0，0，1），B（2，0，0），F(xiàn)（0，

3

，0）．
由題意得點(diǎn)P（1，

3

，0），
∴

A1B

=(2，0，-1)，

BP

=(-1，

3

，0)，

EA1

=(0，0，1)，
設(shè)平面A₁BP的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • A1B =2x-z=0 n • BP =x- 3 y=0

，（10分）
令y=

3

，得

n

=(3，

3

，6)，
∴sinθ=|cos＜

n

，

EA1

＞|=

3

2

，
故直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小為

π

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．