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【題目】如圖所示，在正三棱柱中，點是的中點，點是的中點，所有的棱長都為.

（1）求證：；

（2）求點到平面的距離.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由條件可證明平面，得，由此可證明平面，即可證明（2）利用三棱錐等體積法，即，分別計算兩個棱錐的體積，即可求出點到平面的距離.

（1）在正三棱柱中，底面為正三角形，而點為的中點，所以.

又側棱底面，平面，則.

而，所以平面，且平面，

從而.

正三棱柱所有棱長均相等，點是的中點，

所以，，，從而.

由，得.

又點，所以平面，從而.

（2）記點到平面的距離為，

則三棱錐的體積為.

由（1）證明過程可知，平面，且平面，從而.

由條件計算得，，，的面積為，從而.

在正三棱柱中，過點作的垂線交于點，

又側棱底面，平面，則.

而，所以平面，

即是三棱錐的高，且，

.

而，所以，，

即點到平面的距離為.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，底面，是邊長為的正方形．且，點是的中點．

（1）求證：；

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（Ⅱ）求證：平面PEC⊥平面PCD．

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給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓Ｃ的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到Ｆ的距離為.

（I）求橢圓Ｃ的方程和其“準圓”方程；

(II )點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點M，N.

（1）當P為“準圓”與軸正半軸的交點時，求的方程；

（2）求證：|MN|為定值.

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