Question

【題目】已知數(shù)列和滿足：，，且對一切，均有．

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和；

（3）設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求正整數(shù)，使得對任意，均有．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）在等式兩邊同時除以，可得出，利用等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列為等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，可得出數(shù)列的通項公式；

（2）先求出的值，由時，由，可得出，兩式相除可得出的表達(dá)式，再對是否滿足在的表達(dá)式，即可得出數(shù)列的通項公式，再利用等比數(shù)列的求和公式求出；

（3）令，利用數(shù)列的單調(diào)性求出滿足的最大整數(shù)的值為，即可得出結(jié)論.

（1）由，，

兩邊除以，得，即，所以，數(shù)列為等差數(shù)列．

，所以，；

（2）當(dāng)時，.

對任意的，，則；

當(dāng)時，由可得，

兩式相除得，

滿足，所以，對任意的，，，

即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且首項為，因此，；

（3），令，即，即，

構(gòu)造數(shù)列，則，

當(dāng)時，則有，即；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，，即，可得.

所以，數(shù)列最大項的值為，又，，

當(dāng)時，.

所以，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.

綜上所述，數(shù)列中，最大，因此，.