Question

12．已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F₁（-2，0），點B（2，$\sqrt{2}$）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可設橢圓標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），結(jié)合已知及隱含條件列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0），即可判斷存在點P．

解答 解：（Ⅰ）由題意可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則c=2，a²-b²=c²，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{^{2}}$=1，解得：a²=8，b²=4．
可得橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）如圖，設F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，A（-2$\sqrt{2}$，0），
AF所在直線方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），
取x=0，得y=$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，
∴N（0，$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$），
AE所在直線方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2\sqrt{2}}$（x+2$\sqrt{2}$），
取x=0，得y=$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}-2\sqrt{2}}$．
則以MN為直徑的圓的圓心坐標為（0，$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$），
半徑r=$\frac{4{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$，
圓的方程為x²+（y-$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$）²=$\frac{16{{y}_{0}}^{2}}{（8-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，即x²+（y+$\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{y}_{0}}$）²=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$．
取y=0，得x=±2．
可得以MN為直徑的圓經(jīng)過定點（±2，0）．
可得在x軸上存在點P（±2，0），
使得無論非零實數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角．

點評 本題考查橢圓的方程和簡單性質(zhì)，考查直線與圓位置關系的應用，考查整體運算思想方法，是中檔題．