Question

13．如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（Ⅰ）求∠ABC；
（Ⅱ）若∠A=$\frac{π}{2}$，D為△ABC外一點(diǎn)，DB=2，DC=1，求四邊形ABDC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得cosBsinC=sinBsinC，結(jié)合sinC≠0，可求tanB=1，結(jié)合范圍B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD，由已知及（Ⅰ）可知$∠ABC=\frac{π}{4}$，利用三角形面積公式可求S_△ABC，S_△BDC，從而可求${S_{四邊形ABDC}}=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（D-\frac{π}{4}）$，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解四邊形ABDC面積的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），
∴sinA=sinB（sinC+cosC），…（1分）
∴sin（π-B-C）=sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…（2分）
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…（3分）
∴cosBsinC=sinBsinC，
又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…（4分）
∴cosB=sinB，即tanB=1．    …（5分）
又∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{4}$．  …（6分）
（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD． …（7分）
又$A=\frac{π}{2}$，由（Ⅰ）可知$∠ABC=\frac{π}{4}$，
∴△ABC為等腰直角三角形，…（8分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×BC×\frac{1}{2}×BC=\frac{1}{4}B{C^2}=\frac{5}{4}-cosD$，…（9分）
又∵${S_{△BDC}}=\frac{1}{2}×BD×DC×sinD=sinD$，…（10分）
∴${S_{四邊形ABDC}}=\frac{5}{4}-cosD+sinD=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（D-\frac{π}{4}）$．    …（11分）
∴當(dāng)$D=\frac{3π}{4}$時，四邊形ABDC的面積有最大值，最大值為$\frac{5}{4}+\sqrt{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．