Question

7．已知數(shù)列{a_n}的遞推公式a_n-a_n-1=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，且a₁=$\sqrt{2}$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

分析 當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\sqrt{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)，化簡(jiǎn)a_n-a_n-1=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，從而利用累加法求得．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\sqrt{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
即a₂-a₁=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
a₃-a₂=2-$\sqrt{3}$，
…，
a_n-a_n-1=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
累加化簡(jiǎn)可得，
a_n-a₁=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{2}$，
故a_n=$\sqrt{n+1}$，
a₁=$\sqrt{2}$也滿足上式，
故a_n=$\sqrt{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，同時(shí)考查了分類(lèi)討論及歸納法的應(yīng)用．