Question

4．下列命題中所有正確的序號(hào)是④⑤．
①存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，使$sinx+cosx=\frac{1}{3}$；
②存在區(qū)間（a，b），使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0；
③y=tanx在定義域內(nèi)為增函數(shù)；
④y=cos²x+sin（$\frac{π}{2}$-x）有最大值2，且是偶函數(shù)；
⑤若函數(shù)f（x）=asin2x+btanx+1，且f（-3）=5，則f（π+3）=-3．

Answer 1

分析 求出$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，sinx+cosx的范圍，可判斷①；根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可判斷②；根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③；分析函數(shù)的最值和奇偶性，可判斷④；根據(jù)函數(shù)的奇偶和周期性，可判斷⑤

解答 解：$sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，$x∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$∈（1，$\sqrt{2}$]，
故①存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，使$sinx+cosx=\frac{1}{3}$，錯(cuò)誤；
②y=cosx，則y′=-sinx，若存在區(qū)間（a，b），使y=cosx為減函數(shù)，則sinx≥0恒成立，錯(cuò)誤；
③y=tanx在定義域內(nèi)圖象不連續(xù)，不為增函數(shù)；
④y=cos²x+sin（$\frac{π}{2}$-x）=cos²x+cosx在cosx=1時(shí)有最大值2，且是偶函數(shù)，正確；
⑤若函數(shù)f（x）=asin2x+btanx+1，則f（-x）+f（x）=2，若f（-3）=5，則f（π+3）=f（3）=-3，正確．
故答案為：④⑤

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．