Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若x=3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及在[2，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x進(jìn)行求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出參數(shù)a的取值范圍；
（2）先求導(dǎo)，再根據(jù)f′（3）=0，求得a=5，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值，和端點(diǎn)值，求出最值即可．

解答 解：（1）y=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
則必有$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0；
實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．
（2）∵f（x）=x³-ax²+3x．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由題意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3．
令 f′（x）=0，解得 x=3∈[2，4]，x=$\frac{1}{3}$ （舍去），
易知f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減，在[3，4]上單調(diào)遞增，
而f（2）=-6，f（4）=-4，f（3）=-9，
故f（x）在區(qū)間[2，4]上的最大值為-4，最小值為-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．