Question

9．過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)且斜率為2的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線有公共點(diǎn)M，若點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，則p的值為4．

Answer 1

分析 取AB的中點(diǎn)N，分別過A、B、N作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、M，作出圖形，利用拋物線的定義及梯形的中位線性質(zhì)可推導(dǎo)，|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，從而可判斷圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系：相切，確定拋物線y²=2px的焦點(diǎn)，設(shè)直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為$\frac{p}{2}$，由條件即可得到p=4．

解答 解：取AB的中點(diǎn)N，分別過A、B、N作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，
垂足分別為P、Q、M，如圖所示：
由拋物線的定義可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AP|+|BQ|）
=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圓心N到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
即有以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切
由M的縱坐標(biāo)為2，即N的縱坐標(biāo)為2，
拋物線y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），
設(shè)直線AB的方程為y=2（x-$\frac{p}{2}$），即x=$\frac{1}{2}$y+$\frac{p}{2}$，
與拋物線方程y²=2px聯(lián)立，消去x，得y²-py-p²=0
由韋達(dá)定理可得AB的中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為$\frac{p}{2}$，
即有p=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、直線圓的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．