分析 (Ⅰ)根據(jù)題意和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)分別列出方程,求出m和n的值,即可求出m-n的值;
(Ⅱ)由(I)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡條件中的函數(shù)y,由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出變量的范圍,利用換元法構(gòu)造函數(shù),由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,并求出函數(shù)的值域,從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)∵函數(shù)f(x)=log3(9x+1)+mx為偶函數(shù),
∴f(-x)=f(x),則log3(9-x+1)-mx=log3(9x+1)+mx,
即2mx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)
又右邊=log3$\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$-log3(9x+1)=log39-x=log33-2x=-2x,
∴2mx=-2x,解得m=-1,
∵g(x)=$\frac{{9}^{x}+n}{{3}^{x}}$為奇函數(shù).
∴g(0)=0,則g(0)=$\frac{1+n}{1}$=0,解得n=-1,
∴m-n=0,即m-n的值0;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f(x)=log3(9x+1)-x,g(x)=$\frac{{9}^{x}-1}{{3}^{x}}$,
則$y={log_3}[g(x)+{3^{-x}}-4]+{log_3}a$=log3($\frac{{9}^{x}-1}{{3}^{x}}$+$\frac{1}{{3}^{x}}$-4)+log3a
=log3(3x-4)+log3a=log3(3x-4)a,
∴y=log3(3x-4)a,且(a>0,3x>4)
即f(x)=log3(9x+1)-x與y=log3(3x-4)a的圖象有且只有一個交點(diǎn),
∴l(xiāng)og3(9x+1)-x=log3(3x-4)a有且僅有一個解,
∵log3(9x+1)-x=log3(9x+1)-log33x=$lo{g}_{3}^{\frac{{9}^{x}+1}{{3}^{x}}}$,
∴3x+$\frac{1}{{3}^{x}}$=(3x-4)a有且僅有一解,
設(shè)t=3x,t>4,代入上式得,$t+\frac{1}{t}=(t-4)a$,
則a=$\frac{t}{t-4}+\frac{1}{t(t-4)}$=$\frac{{t}^{2}+1}{t(t-4)}$,令y=$\frac{{t}^{2}+1}{t(t-4)}$,
則y′=$\frac{{(t}^{2}+1)′t(t-4)-[t(t-4)]′({t}^{2}+1)}{{t}^{2}(t-4)^{2}}$
=$\frac{{2(-2t}^{2}-t+2)}{{t}^{2}{(t-4)}^{2}}$,
∵函數(shù)y=-2t2-t+2在(4,+∞)上遞減,且y<0,
∴y′<0,則函數(shù)y=$\frac{{t}^{2}+1}{t(t-4)}$在(4,+∞)上遞減,
∴函數(shù)y=$\frac{{t}^{2}+1}{t(t-4)}$在(4,+∞)上的值域是(0,+∞),
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>0.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì),對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系,以及函數(shù)圖象交點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化,考查換元法、構(gòu)造法,轉(zhuǎn)化思想,化簡、變形能力.
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