Question

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)1臺(tái)需要增加投入25元，為了對(duì)今后的銷售提供參考數(shù)據(jù)，對(duì)銷售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500臺(tái)，已知銷售收入函數(shù)為：H（x）=500x-

1

2

x²，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤x≤500．
（Ⅰ）若x為年產(chǎn)量，y為利潤(rùn)，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大，其最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）本題考查的是分段函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，當(dāng)0≤x≤500時(shí)，y=500x-

1

2

x2-（5000+25x），當(dāng)x＞500時(shí)，y=500×500-

1

2

×500²-（5000+25x）；
（Ⅱ）用配方法化簡(jiǎn)解析式，求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)0≤x≤500時(shí)，產(chǎn)品全部售出，
∴y=500x-

1

2

x²-（5000+25x）
即y=-

1

2

x²+475x-5000，
當(dāng)x＞500時(shí)，產(chǎn)品只能售出500臺(tái)，
∴y=500×500-

1

2

×500²-（5000+25x）
即，y=-25x+120000，
則有y=

- 1 2 x2+475x-5000，0≤x≤500 120000-25x，x＞500

；
（Ⅱ）當(dāng)0≤x≤500時(shí)，y=-

1

2

（x-475）²+107812.5，
當(dāng)x＞500時(shí)，y=120000-25x＜120000-25×500=107500，
故當(dāng)年產(chǎn)量為475臺(tái)時(shí)取得最大利潤(rùn)，且最大利潤(rùn)為107812.5元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，用配方法可求出最大值，配方法求最值是常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．