Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是以∠A=60°的菱形，PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點M，N分別為棱AD，PC的中點證明：
（1）DN∥平面PMB；
（2）MB⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）取PB的中點Q，連接MQ，NQ，要證DN∥平面PMB，只要證DN∥MQ；
（2）要證MB⊥平面PAD，只要證明PD⊥MB，MB⊥AD即可．

解答 解：（1）證明：取PB的中點Q，連接MQ，NQ，
∵M，N分別是棱AD，PC的中點，
∴QN∥BC∥MD，并且QN=MD，
∴四邊形MDNQ為平行四邊形，
∴DN∥MQ，又MQ?平面PMB，DN?平面PMB，
∴DN∥平面PMB；
（2）證明：∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB；
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∵M為AD的中點，
∴MB⊥AD，
又AD∩PD=D，
∴MB⊥平面PAD．

點評 本題考查了幾何體棱錐中線面平行和面面垂直的判斷，考查了空間想象能力和推理論證能力，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系解答，屬于中檔題．