Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，且a_n+1=

an

1+an

．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）求正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是：b_n=2^n-1，求數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）對a_n+1=

an

1+an

兩邊取倒數(shù)可得結(jié)論；
（2）由（1）及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（3）易求

bn

an

，然后利用錯(cuò)位相減法可求得S_n．

解答： （1）證明：由a_n+1=

an

1+an

，得

1

an+1

=

1+an

an

=1+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為2；
（2）由（1）知，

1

an

=2+(n-1)×1=n+1，
∴an=

1

n+1

；
（3）

bn

an

=（n+1）•2^n-1，
∴S_n=2×1+3×2+4×2²+…+（n+1）×2^n-1①，
2S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ②，
①-②得，-S_n=2+2+2²+2³+…+2^n-1-（n+1）×2ⁿ
=2+

2(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ=-n×2ⁿ，
∴S_n=n×2ⁿ．

點(diǎn)評：該題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，錯(cuò)位相減法對數(shù)列求和是高頻考點(diǎn)，要熟練掌握．