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5.已知f′(x)是函數(shù)f(x)=ln(1+x)的導函數(shù),設g(x)=xf′(x),x≥0.
(1)證明:f(x)≥g(x);
(2)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,歸納并用數(shù)學歸納法證明gn(x)的表達式.

分析 (1)構造函數(shù),利用函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值即可,
(2)先猜想:gn(x)=x1+nx,利用數(shù)學歸納法證明即可.

解答 證明(1):∵f(x)=ln(1+x),∴f′(x)=11+x.(x≥0).
∴g(x)=x1+x
設h(x)=f(x)-g(x),則ln(1+x)≥x1+x?(1+x)ln(1+x)-x≥0.
即h(x)=(1+x)ln(1+x)-x(x≥0).
h′(x)=ln(1+x)+1-1=ln(1+x)≥0,
∴h(x)在x≥0時單調遞增,又h(0)=0,
∴h(x)≥0,即ln(1+x)≥x1+x,
∴f(x)≥g(x)
解(2):g1(x)=g(x)=x1+x
∵gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+
∴g2(x)=g(g1(x))=g(x1+x)=x1+2x
g3(x)=g(g2(x))=g(x1+2x)=x1+3x,
猜想:gn(x下面利用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,g1(x)=g(x)=x1+x,成立.
②假設當n=k(k∈N*)時,gk(x)=x1+kx
則當n=k+1時,gk+1(x)=g(gk(x))=g(x1+kx)=x1+kx1+x1+kx=x1+k+1x,
因此當n=k+1時,gn(x)=x1+nx也成立.
綜上可得:?n∈N*,gn(x)=x1+nx成立.

點評 本題考查了利用數(shù)學歸納法證明等式的方法、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性證明不等式的方法,考查了猜想能力、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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