分析 (1)構造函數(shù),利用函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值即可,
(2)先猜想:gn(x)=x1+nx,利用數(shù)學歸納法證明即可.
解答 證明(1):∵f(x)=ln(1+x),∴f′(x)=11+x.(x≥0).
∴g(x)=x1+x.
設h(x)=f(x)-g(x),則ln(1+x)≥x1+x?(1+x)ln(1+x)-x≥0.
即h(x)=(1+x)ln(1+x)-x(x≥0).
h′(x)=ln(1+x)+1-1=ln(1+x)≥0,
∴h(x)在x≥0時單調遞增,又h(0)=0,
∴h(x)≥0,即ln(1+x)≥x1+x,
∴f(x)≥g(x)
解(2):g1(x)=g(x)=x1+x,
∵gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,
∴g2(x)=g(g1(x))=g(x1+x)=x1+2x.
g3(x)=g(g2(x))=g(x1+2x)=x1+3x,
猜想:gn(x下面利用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,g1(x)=g(x)=x1+x,成立.
②假設當n=k(k∈N*)時,gk(x)=x1+kx.
則當n=k+1時,gk+1(x)=g(gk(x))=g(x1+kx)=x1+kx1+x1+kx=x1+(k+1)x,
因此當n=k+1時,gn(x)=x1+nx也成立.
綜上可得:?n∈N*,gn(x)=x1+nx成立.
點評 本題考查了利用數(shù)學歸納法證明等式的方法、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性證明不等式的方法,考查了猜想能力、推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2+3i | B. | 2-3i | C. | 3+2i | D. | 3-2i |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{3}{2} | B. | \frac{5}{3} | C. | \frac{25}{6} | D. | 不存在 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{π}{3} | B. | \frac{π}{4} | C. | \frac{2π}{3} | D. | \frac{3π}{4} |
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