Question

15．已知函數(shù)f（x）=x+sin2x．給出以下四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；
②?x＞0，不等式f（x）＜3x恒成立；
③?k∈R，使方程f（x）=k沒有的實(shí)數(shù)根；
④若數(shù)列{a_n}是公差為$\frac{π}{3}$的等差數(shù)列，且f（a_l）+f（a₂）+f（a₃）=3π，則a₂=π．
其中的正確命題有①②④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可直接判斷；
②構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可；
③根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性和值域可判斷；
④根據(jù)函數(shù)表達(dá)式和題意可判斷．

解答 解：①函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，故正確；
②?x＞0，f（x）-3x
=sin2x-2，
令g（x）=sin2x-2，g'（x）=2（cos2x-1）＜0，
∴g（x）遞減，g（x）＜g（0）=0，
∴f（x）＜3x恒成立，故正確；
③由函數(shù)為奇函數(shù)，且值域?yàn)椋?∞，+∞），
故無論R為何值，方程f（x）=k都有實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤；
④若數(shù)列{a_n}是公差為$\frac{π}{3}$的等差數(shù)列，且f（a_l）+f（a₂）+f（a₃）=3π，
∴a_l+a₂+a₃=3π，sin2a_l+sin2a₂+sin2a₃=0，
解得a₂=π，故正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 考查了抽象函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．