Question

已知f（x）=x³+3x²-3mx+4有極大值5．
（1）求m；
（2）求過(guò)原點(diǎn)切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定導(dǎo)數(shù)的變化情況，利用f（x）=x³+3x²-3mx+4有極大值5，求m；
（2）曲線過(guò)點(diǎn)（x₁，x₁³-3x₁²-3mx₁+4）的切線斜率為3（x₁²-2x₁-m），切線方程為：y=3（x₁²-2x₁-m）（x-x₁）+x₁³-3x₁²-3mx₁+4，切線過(guò)原點(diǎn)（0，0），可得切線方程得y=-3mx，即可求過(guò)原點(diǎn)切線方程．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3x²-3mx+4，∴f′（x）=3x²-6x-3m．
令3x²-6x-3m=0，則△=36（m+1）．
①當(dāng)△≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值．
②當(dāng)△＞0，即m＞-1時(shí)，f′（x）=0有相異兩實(shí)根，設(shè)兩根為α，β（α＜β），
f′（x）=3（x-α）（x-β），其中α=1-

m+1

，β=1+

m+1

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下：

X	（-∞，α）	α	（α，β）	β	（β，+β）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	?	極大	?	極小	?

∴x=1-

m+1

時(shí)，f（x）取極大值，并且f（1-

m+1

）=2（m+1）

m+1

-3m+2 
由2（m+1）

m+1

=3（m+1），∴4（m+1）=9，∴m=

5

4

∴當(dāng)m=

5

4

時(shí)，y=f（x）取得極大值5．
（2）曲線過(guò)點(diǎn)（x₁，x₁³-3x₁²-3mx₁+4）的切線斜率為3（x₁²-2x₁-m），
切線方程為：y=3（x₁²-2x₁-m）（x-x₁）+x₁³-3x₁²-3mx₁+4，切線過(guò)原點(diǎn)（0，0），
所以-3x₁（x₁²-2x₁-m）+x²₁-3mx₁+4=0，3x₁³+x₁+2＞0，
∴x₁=2，代入切線方程得y=-3mx．
對(duì)于m=

5

4

的那條曲線，切線為y=-

15

4

x

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查切線方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．