Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，任作平面a與對(duì)角線AC′垂直，使得a與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l，則（　�。�

• A、S為定值，l不為定值
• B、S不為定值，l為定值
• C、S與l均為定值
• D、S與l均不為定值

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐A-A′BD與C′-D′B′C后，得到一個(gè)以平行平面A′BD與D′B′C為上、下底面的幾何體V，V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱A′B′剪開(kāi)，展平在一張平面上，得到一個(gè)?A′B′B₁A₁，考查E′的位置，確定S，l．

解答： 解：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐A-A′BD與C′-D′B′C后，得到一個(gè)以平行平面A′BD與D′B′C為上、下底面的幾何體V，V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱A′B′剪開(kāi)，展平在一張平面上，得到一個(gè)?A′B′B₁A₁，如圖
而多邊形W的周界展開(kāi)后便成為一條與A′A₁平行的線段（如圖中E′E₁），顯然E′E₁=A′A₁，故l為定值．
 當(dāng)E′位于A′B′中點(diǎn)時(shí)，多邊形W為正六邊形，而當(dāng)E′移至A′處時(shí)，W為正三角形，易知周長(zhǎng)為定值l的正六邊形與正三角形面積分別為

3

24

l2與

3

36

l2，故S不為定值．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用平面幾何的知識(shí)解決立體幾何，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于難題．