Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax+b（a，b∈R）在x=2處取得的極小值是-

4

3

．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-4，3]時(shí)，有f（x）=m²+m+

10

3

恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得，f（2）=-

4

3

，f′（2）=0，解得即可得到a，b，進(jìn)而通過解f′（x）＞0，即可得到單調(diào)增區(qū)間；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，及在[-4，3]上的最大值，再由f（x）≤m²+m+

10

3

在[-4，3]上恒成立等價(jià)于m²+m+

10

3

≥

28

3

，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）f′（x）=x²+a，由題意

f′(2)=4+a=0 f(2)= 8 3 +2a+b=- 4 3

，解得

a=-4 b=4

，
令f′（x）=x²-4＞0得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2）和（2，+∞）．
（2）f（x）=

1

3

x³-4x+4，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	-4	（-4，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	- 4 3	單調(diào)遞增	28 3	單調(diào)遞減	- 4 3	單調(diào)遞增	1

所以-4≤x≤3時(shí)，f（x）_max=

28

3

．
于是f（x）≤m²+m+

10

3

在[-4，3]上恒成立等價(jià)于m²+m+

10

3

≥

28

3

，
求得m∈（-∞，-3]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．