Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，上頂點為B，O為坐標原點，若BF⊥BA，則cos2∠BFO=2-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設橢圓的半焦距為c，根據(jù)勾股定理和a，b，c的關系，可得a，c的關系，再由二倍角公式，即可得到結論．

解答 解：設橢圓的半焦距為c，
由BF⊥BA，可得AF²=BF²+BA²，
即有（a+c）²=a²+a²+b²，
結合b²=a²-c²，可得c²+ac-a²=0，
即有（$\frac{c}{a}$）²+$\frac{c}{a}$-1=0，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
則cos∠BFO=$\frac{c}{a}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
故cos2∠BFO=2cos²∠BFO-1=2•（$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）²-1=2-$\sqrt{5}$，
故答案為：2-$\sqrt{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，考查三角函數(shù)的二倍角公式和勾股定理的運用，屬于中檔題．