分析 (1)求得函數(shù)y=xf(x)的導(dǎo)數(shù),由極值的概念可得a=12,求出f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率和切點,運用點斜式方程可得切線的方程;
(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,以及極值,由零點個數(shù)為2,可得a=3,作出y=f(x)的圖象,令t=g(x),由題意可得t=-1或t=$\frac{1}{2}$,即f(x)=-1-b或f(x)=$\frac{1}{2}$-b都有3個實數(shù)解,由圖象可得-1-b>0,且$\frac{1}{2}$-b>0,即可得到所求a+b的范圍.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=4x2+$\frac{1}{x}$-a,
則y=xf(x)=4x3+1-ax的導(dǎo)數(shù)為y′=12x2-a,
由題意可得12-a=0,解得a=12,
即有f(x)=4x2+$\frac{1}{x}$-12,
f′(x)=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$,
可得曲線在點(1,f(1))處的切線斜率為7,切點為(1,-7),
即有曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y+7=7(x-1),
即為y=7x-14;
(2)由f(x)=4x2+$\frac{1}{x}$-a,導(dǎo)數(shù)f′(x)=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$,
當(dāng)x>$\frac{1}{2}$時,f′(x)>0,f(x)遞增;當(dāng)x<0或0<x<$\frac{1}{2}$時,f′(x)<0,f(x)遞減.
可得x=$\frac{1}{2}$處取得極小值,且為3-a,
由f(x)有兩個零點,可得3-a=0,即a=3,零點分別為-1,$\frac{1}{2}$.
令t=g(x),即有f(t)=0,可得t=-1或$\frac{1}{2}$,
則f(x)=-1-b或f(x)=$\frac{1}{2}$-b,
由題意可得f(x)=-1-b或f(x)=$\frac{1}{2}$-b都有3個實數(shù)解,
則-1-b>0,且$\frac{1}{2}$-b>0,即b<-1且b<$\frac{1}{2}$,
可得b<-1,即有a+b<2.
則a+b的范圍是(-∞,2).
點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值,考查函數(shù)零點問題的解法,注意運用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想方法,考查運算能力,屬于中檔題.
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A. | i≥15 | B. | i≤15 | C. | i≥14 | D. | i≤14 |
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