Question

15．已知函數(shù)f（x）=4x²+$\frac{1}{x}$-a，g（x）=f（x）+b，其中a，b為常數(shù)．
（1）若x=1是函數(shù)y=xf（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，f（g（x））有6個(gè)零點(diǎn)，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)y=xf（x）的導(dǎo)數(shù)，由極值的概念可得a=12，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，以及極值，由零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，可得a=3，作出y=f（x）的圖象，令t=g（x），由題意可得t=-1或t=$\frac{1}{2}$，即f（x）=-1-b或f（x）=$\frac{1}{2}$-b都有3個(gè)實(shí)數(shù)解，由圖象可得-1-b＞0，且$\frac{1}{2}$-b＞0，即可得到所求a+b的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4x²+$\frac{1}{x}$-a，
則y=xf（x）=4x³+1-ax的導(dǎo)數(shù)為y′=12x²-a，
由題意可得12-a=0，解得a=12，
即有f（x）=4x²+$\frac{1}{x}$-12，
f′（x）=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
可得曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為7，切點(diǎn)為（1，-7），
即有曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+7=7（x-1），
即為y=7x-14；
（2）由f（x）=4x²+$\frac{1}{x}$-a，導(dǎo)數(shù)f′（x）=8x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)x＜0或0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
可得x=$\frac{1}{2}$處取得極小值，且為3-a，
由f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，可得3-a=0，即a=3，零點(diǎn)分別為-1，$\frac{1}{2}$．
令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=-1或$\frac{1}{2}$，
則f（x）=-1-b或f（x）=$\frac{1}{2}$-b，
由題意可得f（x）=-1-b或f（x）=$\frac{1}{2}$-b都有3個(gè)實(shí)數(shù)解，
則-1-b＞0，且$\frac{1}{2}$-b＞0，即b＜-1且b＜$\frac{1}{2}$，
可得b＜-1，即有a+b＜2．
則a+b的范圍是（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．