Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²（n≥1，n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_na_n+1，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．存在正整數(shù)n，使得S_n＞λ-$\frac{1}{2}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²（n≥1，n∈N^*），n=1時(shí)，解得a₁=1．n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，解得a_n即可得出．
（II）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²（n≥1，n∈N^*），
∴n=1時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，解得a₁=1．
n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=（n-1）²，相減可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，解得a_n=$\frac{1}{2n-1}$．（n=1時(shí)也成立）．
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（II）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$．
不等式S_n＞λ-$\frac{1}{2}$，化為：λ＜$1-\frac{1}{2（2n+1）}$．
∵存在正整數(shù)n，使得S_n＞λ-$\frac{1}{2}$，數(shù)列$\{-\frac{1}{2（2n+1）}\}$單調(diào)遞增．
∴$\frac{5}{6}$≤λ＜1．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$[\frac{5}{6}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．