Question

4．已知實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-12≤0}\\{x≥2}\\{y≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，則$\frac{xy}{{x}^{2}{+y}^{2}}$的取值范圍是（　　）

• A． [2，$\frac{5}{2}$]
• B． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，求出$\frac{y}{x}$的范圍，化簡目標函數，轉化為函數的值域，求解即可．

解答 解：實數x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y-12≤0}\\{x≥2}\\{y≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$的可行域如圖：

由圖形可知：$\frac{y}{x}$的最小值：K_OB，最大值是K_OA，由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{3x+2y-12=0}\end{array}\right.$解得A（2，3），由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}}\\{3x+2y-12=0}\end{array}\right.$可得B（3，$\frac{3}{2}$），K_OB=$\frac{1}{2}$，K_OA=$\frac{3}{2}$，
則$\frac{xy}{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$，令t=$\frac{y}{x}$，t∈$[\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$，g（t）=$\frac{1}{t}$+t≥2，等號成立的條件是t=1，1∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，當t=$\frac{1}{2}$時，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，當t=$\frac{3}{2}$時，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{13}{6}$，
可得$\frac{xy}{{x}^{2}{+y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$∈[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]．
故選：D．

點評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，考查數形結合以及轉化思想的應用，考查計算能力．