Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$，g（x）=lnx，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）g（x）在x=1處的切線方程；
（2）若存在x₁，x₂（x₁≠x₂），使得g（x₁）-g（x₂）=λ[f（x₂）-f（x₁）]成立，其中λ為常數(shù)，求證：λ＞e；
（3）若對(duì)任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x-1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算x=1時(shí)y和y′的值，求出切線方程即可；
（2）令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+$\frac{λ}{{e}^{x}}$，（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論λ的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而證明結(jié)論即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$\frac{lnx}{{e}^{x}}$-a（x-1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）=$\frac{lnx}{{e}^{x}}$-a（x-1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍．

解答 解：（1）y=f（x）g（x）=$\frac{lnx}{{e}^{x}}$，y′=$\frac{\frac{1}{x}-lnx}{{e}^{x}}$，
x=1時(shí)，y=0，y′=$\frac{1}{e}$，
故切線方程是：y=$\frac{1}{e}$x-$\frac{1}{e}$；
（2）證明：由g（x₁）-g（x₂）=λ[f（x₂）-f（x₁）]，
得：g（x₁）+λf（x₁）=g（x₂）+λf（x₂），
令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+$\frac{λ}{{e}^{x}}$，（x＞0），
h′（x）=$\frac{{e}^{x}-λx}{{xe}^{x}}$，
令ω（x）=e^x-λx，則ω′（x）=e^x-λ，
由x＞0，得e^x＞1，
①λ≤1時(shí)，ω′（x）＞0，ω（x）遞增，
故h′（x）＞0，h（x）遞增，不成立；
②λ＞1時(shí)，令ω′（x）=0，解得：x=lnλ，
故ω（x）在（0，lnλ）遞減，在（lnλ，+∞）遞增，
∴ω（x）≥ω（lnλ）=λ-λlnλ，
令m（λ）=λ-λlnλ，（λ＞1），
則m′（λ）=-lnλ＜0，故m（λ）遞減，
又m（e）=0，
若λ≤e，則m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）遞增，不成立，
若λ＞e，則m（λ）＜0，函數(shù)h（x）有增有減，滿足題意，
故λ＞e；
（3）由f（x）g（x）≤a（x-1）得lnx-ae^x（x-1）≤0，
令F（x）=lnx-ae^x（x-1），x∈（0，1]，
則F′（x）=$\frac{1}{x}$-axe^x=xe^x（$\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$-a），F(xiàn)′（1）=$\frac{1}{e}$-a
①a≤$\frac{1}{e}$，因?yàn)?\frac{1}{{x}^{2}{e}^{x}}$≥$\frac{1}{e}$，xe^x＞0，所以F′（x）≥0，
所以F（x）在（0，+∞]上為單調(diào)增函數(shù)，所以F（x）≤F（1）=0，故原不等式恒成立．
②法一：
當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$，由（2）知e^x≥ex，F(xiàn)′（x）≤$\frac{1}{x}$-aex²=$\frac{1-ae{x}^{3}}{x}$，
當(dāng)（ae）${\;}^{-\frac{1}{3}}$＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）為單調(diào)減函數(shù)．所以F（x）＞F（1）=0，不合題意．
法二：
當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$，一方面F′（1）=1-ae＜0．
另一方面，?x₁=$\frac{1}{ae}$＜1，F(xiàn)（x₁）≥$\frac{1}{{x}_{1}}$-aex₁=x₁（$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-ae）=x₁ae（ae-1）＞0．
所以?x₁∈（x₁，1），使F′（x₀）=0，又，F(xiàn)′（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，
所以當(dāng)x₀＜x＜1時(shí)，使F′（x）＜0，故F（x）在（x₀，1）上為單調(diào)減函數(shù)．
所以F（x）＞F（1）=0，不合題意．
綜上：a≤$\frac{1}{e}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，考查不等式的證明，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．