Question

曲線f（x）=（x-3）e^x，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f（x）＞k恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

（-∞，-e²]

．

Answer 1

分析：x∈（2，+∞）時(shí)，f（x）＞k恒成立，等價(jià)于f（x）_min＞k，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得其最小值．

解答：解：f′（x）=e^x+（x-3）e^x=e^x（x-2），
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）＞f（2）=-e²，
因?yàn)閤∈（2，+∞）時(shí)，f（x）＞k恒成立，
所以-e²≥k，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-e²]．
故答案為：（-∞，-e²]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，本題需要注意k與最小值的關(guān)系，含有等號(hào)．