Question

19．兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠．統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與CA長度的平方成反比，比例系數(shù)為4，對城B的影響度與CB長度的平方成反比，比例系數(shù)為K．設(shè)CA=xkm，垃圾處理廠對城A和城B的影響度之和記為總影響度y；當(dāng)C為弧AB的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065．
（1）將y表示成x的函數(shù)；
（2）當(dāng)x為多少時，垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最��？

Answer 1

分析 （1）先利用AC⊥BC，求出，再利用圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，得到y(tǒng)和x之間的函數(shù)關(guān)系，最后利用垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065求出k即可求出結(jié)果．
（2）利用基本不等式，找到函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）由題意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y=$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{400-{x}^{2}}$（0＜x＜20）
當(dāng)x=10$\sqrt{2}$時，y=0.065，所以k=9
所以y表示成x的函數(shù)為y=$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{400-{x}^{2}}$（0＜x＜20）；
（2）y=$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{400-{x}^{2}}$=$\frac{1}{400}$（x²+400-x²）（$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{400-{x}^{2}}$）
=$\frac{1}{400}$[4+9+$\frac{4（400-{x}^{2}）}{{x}^{2}}$+$\frac{9{x}^{2}}{400-{x}^{2}}$]≥$\frac{1}{400}$（13+12）=$\frac{1}{16}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4（400-{x}^{2}）}{{x}^{2}}$=$\frac{9{x}^{2}}{400-{x}^{2}}$，即x=4$\sqrt{10}$時，y的最小值為$\frac{1}{16}$
以當(dāng)x=4$\sqrt{10}$時，即當(dāng)C點到城A的距離為4$\sqrt{10}$時，函數(shù)y=$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{400-{x}^{2}}$（0＜x＜20）有最小值．

點評 本題主要考查函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用問題，涉及到函數(shù)解析式的求法以及基本不等式研究函數(shù)的最值問題，屬于中檔題目．