分析 (Ⅰ)取PA的中點N,連接MN,推導(dǎo)出四邊形MNCD是平行四邊形,從而CM∥DN,由此能證明CM∥平面PAD.
(Ⅱ)建立空間坐標(biāo)系O-xyz,利用向量法能求出直線CM與平面PDC所成角的正弦值.
解答 證明:(Ⅰ)取PA的中點N,連接MN,有MN$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AB$,
∴MN$\underset{∥}{=}$DC,
∴四邊形MNCD是平行四邊形,
∴CM∥DN,
又DN?平面PAD,CM?平面PAD《
故CM∥平面PAD.…(6分)
解:(Ⅱ)依題意知:PA2+AB2=PD2,∴PA⊥AB,PA⊥AD,
又AB∩AD=A,∴PA⊥平面ABCD,
建立如圖所示空間坐標(biāo)系O-xyz,
則C(2,1,0),M(0,1,1),D(2,0,0),P(0,0,2),
∴$\overrightarrow{CM}=({-2\;\;,\;\;0\;\;,\;\;1})$,$\overrightarrow{DC}=({0\;\;,\;\;1\;\;,\;\;0})$,$\overrightarrow{DP}=({-2\;\;,\;\;0\;\;,\;\;2})$,
設(shè)平面PDC的法向量為$\overrightarrow n=({a\;\;,\;\;b\;\;,\;\;c})$,
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$,有$\left\{\begin{array}{l}b=0\\-2a+2c=0\end{array}\right.$,得$\overrightarrow n=({1\;\;,\;\;0\;\;,\;\;1})$,
所以$cos<\overrightarrow n\;\;,\;\;\overrightarrow{CM}≥\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{CM}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{CM}}|}}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$,
故直線CM與平面PDC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$.
點評 本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ | B. | $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ | C. | $-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ | D. | $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com