Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，對(duì)角線A₁C與平面BDC₁交于點(diǎn)O．AC、BD交于點(diǎn)M、E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA₁的中點(diǎn)，
求證：（1）C₁、O、M三點(diǎn)共線
（2）E、C、D₁、F四點(diǎn)共面
（3）CE、D₁F、DA三線共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用C₁、O、M三點(diǎn)在平面ACC₁A₁與平面BDC₁的交線上，證明三點(diǎn)共線；
（2）利用EF∥CD₁，證明E、F、C、D₁四點(diǎn)共面；
（3）證明CE與D₁F的交點(diǎn)P在平面ABCD與平面ADD₁A₁的交線上即可．

解答： 證明：（1）∵A₁C∩平面BDC₁=O，∴O∈A₁C，O∈平面BDC₁；
又∵A₁C?平面ACC₁A₁，∴O∈平面ACC₁A₁；
∵AC、BD交于點(diǎn)M，∴M∈AC，M∈BD；
又AC?平面ACC₁A₁，BD?平面BDC₁，
∴M∈平面ACC₁A₁，M∈平面BDC₁；
又C₁∈平面ACC₁A₁，C₁∈平面BDC₁；
∴C₁、O、M三點(diǎn)在平面ACC₁A₁與平面BDC₁的交線上，
∴C₁、O、M三點(diǎn)共線；
（2）∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA₁的中點(diǎn)，
∴EF∥BA₁，
又∵BC∥A₁D₁，BC=A₁D₁，
∴四邊形BCD₁A₁是平行四邊形，
∴BA₁∥CD₁；
∴EF∥CD₁，
∴E、F、C、D₁四點(diǎn)共面；
（3）∵平面ABCD∩平面ADD₁A₁=AD，
設(shè)CE與D₁F交于一點(diǎn)P，則：
P∈CE，CE?平面ABCD，
∴P∈平面ABCD；
同理，P∈平面ADD₁A₁，
∴P∈平面ABCD∩平面ADD₁A₁=AD，
∴直線CE、D₁F、DA三線交于一點(diǎn)P，
即三線共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的點(diǎn)共線，線共點(diǎn)以及線共面的證明問題，是基礎(chǔ)題目．