長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，a＞b，設(shè)異面直線AC1與BD所成角為θ．求證：cosθ=
a2-b2
(a2+b2)(a2+b2+c2)
．
考點：異面直線及其所成的角
專題：空間角
分析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
AC1
=（-b，a，c），
DB
=（b，a，0），由此能證明cosθ=
|
AC1
，
DB
|
|
AC1
|•|
BD
|
=
a2-b2
(a2+b2)(a2+b2+c2)
．
解答： 證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AA1=c，AB=a，AD=b，a＞b，
∴A（b，0，0），C1（0，a，c），B（b，a，0），D（0，0，0），
AC1
=（-b，a，c），
DB
=（b，a，0），
∵異面直線AC1與BD所成角為θ，
∴cosθ=
|
AC1
，
DB
|
|
AC1
|•|
BD
|
=
-b2+a2
a2+b2+c2
•
a2+b2

∴cosθ=
a2-b2
(a2+b2)(a2+b2+c2)
．
點評：本題考查空間點、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力，解題時要注意向量法的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實數(shù)a，b，c均大于0，且ab+bc+ac=1，求：
a
bc
+
b
ac
+
c
ab
≥3（
a
+
b
+
c
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列各三角形中的兩邊及其中一邊的對角，判斷三角形是否有解，有解的作出解答．
（1）a=7，b=8，A=105°；
（2）a=10，b=20，A=80°；
（3）b=10，c=5
6
，C=60°；
（4）a=2
3
，b=6，A=30°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，D是AB的中點．
（Ⅰ）求AC1與平面B1BCC1所成角的正切值；
（Ⅱ）求證：AC1∥平面B1DC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三點A，B，C共線，O是平面內(nèi)任意一點，則有
OC
=λ
OA
+m
OB
，其中λ+m=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1，對角線A1C與平面BDC1交于點O．AC、BD交于點M、E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，
求證：（1）C1、O、M三點共線
（2）E、C、D1、F四點共面
（3）CE、D1F、DA三線共點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，且
AB
•
AC
=S
（1）若b=2，c=
5
，求a的值；
（2）若B=
π
4
，c=3，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點，兩焦點分別為雙曲線C2：
x2
2
-y2=1的頂點，直線x+
2
y=0與橢圓C1交于A、B兩點，且點A的坐標(biāo)為（-
2
，1），點P是橢圓C1上異于點A，B的任意一點，點Q滿足
AQ
•
AP
=0，
BQ
•
BP
=0，且A，B，Q三點不共線．
（1）求橢圓C1的方程
（2）求點Q的軌跡方程
（3）求△ABQ面積的最大值及此時點Q的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
1
m
+
2
n
=1（m＞0，n＞0），則當(dāng)m+n取得最小值時，橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1的離心率為（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
2
D、
2
5
5

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同步練習(xí)冊答案