Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間[0，1]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則a²+2b（　�。�

• A． 有最小值，但無最大值
• B． 有最大值，但無最小值
• C． 既無最小值，也無最大值
• D． 既有最小值，也有最大值

Answer 1

分析 利用根的存在性定理求出a，b的取值范圍，再利用等式表示出b，代入t=a²+2b，
得出關(guān)于a二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間[0，1]內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，
則f（0）•f（1）=b（a+b+1）≤0；
畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，a、b∈R；
把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：x²+xa+b=0，
則b=-ax-x²，
t=a²+2b=a²-2ax-2x²=（a-x）²-3x²；
是關(guān)于a二次函數(shù)，圖象開口向上，
且a=x時(shí)t有最小值-3x²，無最大值．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題．