Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2點M，N分別在棱PD，PC上，且，PM=MD．
（1）求證：PC⊥平面AMN
（2）求二面角B-AN-M的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）以A點為坐標(biāo)原點，AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量，，，然后計算•與•，證得⊥，⊥，而AM∩AN=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（2）由（1）可知是平面AMN的一個法向量，然后求出平面BAN的一個法向量為=（x，y，z），設(shè)二面角B-AN-M的大小為θ，則cosθ=，最后利用反三角函數(shù)表示即可．
解答：解：（1）以A點為坐標(biāo)原點，AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1），∵，∴N（，，）
=（-2，-2，2），=（，，），=（1，0，1）
∴•=（-2）×+（-2）×+2×=0
•=（-2）×1+0+2×1=0
∴⊥，⊥
而AM∩AN=A
∴PC⊥平面AMN
（2）由（1）可知是平面AMN的一個法向量
設(shè)平面BAN的一個法向量為=（x，y，z）
=（0，2，0），=（，，）
∴即
令x=2，則y=0，z=-1
∴=（2，0，-1）
設(shè)二面角B-AN-M的大小為θ，則cosθ===-
∴二面角B-AN-M的大小為π-arccos
點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及利用空間向量的方法求二面角的平面角，同時考查了計算能力，屬于中檔題．