Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當(dāng)x∈（-2，6）時(shí)，其值為正，而當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時(shí)，其值為負(fù)．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值及函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)F（x）=-f（x）+4（k+1）x+2（6k-1），問k取何值時(shí)，函數(shù)F（x）的值恒為負(fù)值？

Answer 1

解（1）由題意可知-2和6是方程f（x）=0的兩根，
∴，∴，∴f（x）=-4x²+16x+48．
（2）F（x）=-（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2．
當(dāng)k=0時(shí)，F(xiàn)（x）=4x-2不恒為負(fù)值；當(dāng)k≠0時(shí)，若F（x）的值恒為負(fù)值，
則有，解得k＜-2．
∴k的取值為k＜-2．
分析：（1）由題意可知：-2和6為方程f（x）=0的兩根，則把兩根代入到方程中求出a，b并得到函數(shù)解析式即可；
（2）把f（x）代入到F（x）=-f（x）+4（k+1）x+2（6k-1）中得到F（x）=-（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2．然后分析k=0，k＜0，k＞0三種種情況討論F（x），因?yàn)镕（x）要恒為負(fù)數(shù)，所以得到k＜0且△＜0組成不等式組，求出解集即可．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．