Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$asin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+b，（a≠0）．
（1）若a＞0，求f（x）的單凋遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的值域是[3，4]，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對a的正負(fù)進(jìn)行討論，求出f（x）的取值最大和最小值，即可求a、b的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$asin（2x+$\frac{π}{4}$）+a+b，（a≠0）．
∵a＞0，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$$≤2kπ+\frac{π}{2}$可得kπ$-\frac{3π}{8}$≤x≤kπ$+\frac{π}{8}$，（k∈Z）
∴f（x）的單凋遞增區(qū)間為[kπ$-\frac{3π}{8}$，kπ$+\frac{π}{8}$]，（k∈Z）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
①若a＞0時，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\sqrt{2}a+a+b$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為b，
由題意可得：b=3，$\sqrt{2}a+a+b$=4，解得a=$\sqrt{2}-1$．
∴a、b的值分別為：$\sqrt{2}-1$，3．
②若a＜0時，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為$\sqrt{2}a+a+b$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為b，
由題意可得：b=4，$\sqrt{2}a+a+b$=3，解得a=.$1-\sqrt{2}$
∴a、b的值分別為：1$-\sqrt{2}$，4．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．