Question

過(guò)雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F做一條斜率小于0的直線(xiàn)，且該直線(xiàn)與一條漸近線(xiàn)垂直，垂足為點(diǎn)A，與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)B，

FB

=2

FA

，則此雙曲線(xiàn)的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由向量的共線(xiàn)定理可得A為FB的中點(diǎn)，OA為FB的垂直平分線(xiàn)，運(yùn)用等腰三角形的知識(shí)，再由F到直線(xiàn)OA的距離即為b，求得OA=a，再由漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，即可得到∠AOF=60°，由離心率公式，結(jié)合解直角三角形即可得到所求值．

解答： 解：如圖，

FB

=2

FA

，則A為FB的中點(diǎn)，
OA為FB的垂直平分線(xiàn)，
則|OB|=|OF|=c，
由漸近線(xiàn)y=

b

a

x，F(xiàn)（c，0），
|AF|=

| bc a |

1+ b2 a2

=b，
即有|OA|=

c2-b2

=a，
由于∠AOF=∠AOB=∠BOH=60°，
則離心率e=

c

a

=

1

cos60°

=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查平面向量的共線(xiàn)定理，考查單調(diào)直線(xiàn)的距離公式，考查等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)，注意運(yùn)用幾何法，可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，屬于中檔題．