Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=

2

．
（I）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B一PC-D的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AB的中點O，連接PO，CO，AC，由已知條件推導出PO⊥AB，CO⊥AB，從而AB⊥平面PCO，由此能證明AB⊥PC．
（Ⅱ）由已知得OP⊥OC，以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B一PC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AB的中點O，連接PO，CO，AC，
∵△APB為等腰三角形，∴PO⊥AB…（2分）
又∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴△ACB是等邊三角形，∴CO⊥AB…（4分）
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，
又PC?平面PCO，∴AB⊥PC    …（6分）
（Ⅱ）解：∵ABCD為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=

2

，
∴PO=1，CO=

3

，∴OP²+OC²=PC²，
∴OP⊥OC，
以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（0，-1，0），B（0，1，0），C（

3

，0，0），
P（0，0，1），D（

3

，-2，0），

BC

=（

3

，-1，0），

PC

=（

3

，0，-1），

DC

=（0，2，0），
設平面DCP的法向量

n

=（x，y，z），
則

PC • n = 3 x-z=0 DC • n =2y=0

，令x=1，得

n

=（1，0，

3

），
設平面PCE的法向量

m

=（a，b，c），

PC • m = 3 a-c=0 BC • m = 3 a-b=0

，令a=1，得

m

=（1，

3

，

3

），
cos＜

m

，

n

＞=

1+3

2 7

=

2 7

7

，
∵二面角B一PC-D為鈍角，∴二面角B一PC-D的余弦值為-

2 7

7

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．