Question

已知f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx-cos2x
（1）求f（x）的最大值及取最大值時(shí)x的集合．
（2）求f（x）的增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式將函數(shù)f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx-cos2x化為f(x)=2sin(2x-

π

6

)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)函數(shù)取最大值，解不等式即可．
（2）將內(nèi)層函數(shù)作為整體，放到正弦曲線的增區(qū)間上，即2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解不等式即可得此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：由已知：f(x)=

3

sin2x-cos2x=2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)=2sin(2x- 

π

6

)，
（1）當(dāng)2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
即：sin(2x-

π

6

)=1時(shí)，f（x）取最大值2．
此時(shí)x的集合為：{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z }
（2）∵f(x)=2sin(2x-

π

6

)
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z
∴f（x）的增區(qū)間為：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二倍角公式，三角變換方法，正弦曲線的性質(zhì)，求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法屬于三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．