Question

8．已知函數(shù)f（x）=log₄（ax²+2x+3），若f（1）=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 由f（1）=log₄（a+2+3）=1，求得a=-1，令t=-x²+2x+3＞0，求得x的范圍，可得函數(shù)f（x）的定義域，本題即求函數(shù)t在定義域內(nèi)的單調(diào)性；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=log₄（ax²+2x+3），根據(jù)f（1）=log₄（a+2+3），a=-1，
故 f（x）=log₄（-x²+2x+3）．
令t=-x²+2x+3＞0，求得-1＜x＜3，故函數(shù)f（x）的定義域為（-1，3），
f（x）=g（t）=log₄t，本題即求函數(shù)t在定義域內(nèi)的單調(diào)性．
在（-1，1]上，函數(shù)t為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，1]；
在（1，3）上，函數(shù)t為減函數(shù)，故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（1，3）．

點評 本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．