Question

6．下列命題中的真命題是（　　）

• A． ?x₀∈R，使得x₀+$\frac{1}{x0}$=$\frac{3}{2}$
• B． ?x∈（0，+∞），e^x＞x+1
• C． ?x₀∈R，使得x${\;}_{{0}^{\;}}$²-x₀+1=0
• D． ?x∈（0，π），sinx＞cosx

Answer 1

分析 A．利用基本不等式的性質(zhì)可得：當(dāng)x＞0時(shí)，$x+\frac{1}{x}$≥2；當(dāng)x＜0時(shí)，$x+\frac{1}{x}$≤-2，即可判斷出正誤；
B．令f（x）=e^x-（x+1），f′（x）=e^x-1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出正誤；
C．對(duì)于方程：x²-x+1=0，△＜0，可得?x∈R，x²-x+1＞0，即可判斷出正誤；
D．取x=$\frac{π}{6}$，$sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$$＜\frac{\sqrt{3}}{2}$=$cos\frac{π}{6}$，即可判斷出正誤．

解答 解：A．當(dāng)x＞0時(shí)，$x+\frac{1}{x}$≥2；當(dāng)x＜0時(shí)，$x+\frac{1}{x}$≤-2，因此不存在x₀∈R，使得x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{3}{2}$，因此不正確；
B．令f（x）=e^x-（x+1），f′（x）=e^x-1，因此?x∈（0，+∞），f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（0）=0，因此e^x＞x+1，正確；
C．對(duì)于方程：x²-x+1=0，∵△=1-4＜0，∴?x∈R，x²-x+1＞0，∴C不正確；
D．取x=$\frac{π}{6}$，$sin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$$＜\frac{\sqrt{3}}{2}$=$cos\frac{π}{6}$，因此不正確．
綜上可得：只有B正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．