Question

1．已知 a∈R，函數 f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）證明：f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
（2）若f（x）為奇函數，求：
①a的值；
②f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）證法一：設x₁＜x₂，作差比較作差可得f（x₁）＜f（x₂），根據函數單調性的定義，可得：f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
證法二：求導，根據f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．
（2）①若f（x）為奇函數，則 f（0）=0，解得a的值；
②根據①可得函數的解析式，進而可得f（x）的值域．

解答 證明：（1）證法一：設x₁＜x₂，
則${2}^{{x}_{1}}+1＞0$，${2}^{{x}_{2}}+1＞0$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}}＜0$
則f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
證法二：∵函數 f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
∴f′（x）=$\frac{ln2•{2}^{x}}{{（2}^{x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增；
（2）①若f（x）為奇函數，
則 f（0）=a-$\frac{1}{2}$=0，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
②f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∵2^x+1＞1，
∴0＜$\frac{1}{{{2^x}+1}}$＜1，
故-$\frac{1}{2}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，
故函數的值域為：（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，函數的奇偶性，函數的值域，難度中檔．