1.已知 a∈R,函數(shù) f(x)=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$.
(1)證明:f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求:
①a的值;
②f(x)的值域.

分析 (1)證法一:設(shè)x1<x2,作差比較作差可得f(x1)<f(x2),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,可得:f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
證法二:求導(dǎo),根據(jù)f′(x)>0恒成立,可得:f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)①若f(x)為奇函數(shù),則 f(0)=0,解得a的值;
②根據(jù)①可得函數(shù)的解析式,進而可得f(x)的值域.

解答 證明:(1)證法一:設(shè)x1<x2,
則${2}^{{x}_{1}}+1>0$,${2}^{{x}_{2}}+1>0$,${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{1}}<0$
則f(x1)-f(x2)=(a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$)-(a-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$)=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{{(2}^{{x}_{1}}+1){(2}^{{x}_{2}}+1)}$<0.
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
證法二:∵函數(shù) f(x)=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$.
∴f′(x)=$\frac{ln2•{2}^{x}}{{(2}^{x}+1)^{2}}$,
∵f′(x)>0恒成立,
故f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)①若f(x)為奇函數(shù),
則 f(0)=a-$\frac{1}{2}$=0,
解得:a=$\frac{1}{2}$,
②f(x)=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$,
∵2x+1>1,
∴0<$\frac{1}{{{2^x}+1}}$<1,
故-$\frac{1}{2}$<f(x)<$\frac{1}{2}$,
故函數(shù)的值域為:(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$).

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的值域,難度中檔.

練習(xí)冊系列答案
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11.一臺機器按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點,每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少,隨機器的運轉(zhuǎn)的速度而變化,下表為抽樣試驗的結(jié)果:
轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒-11614128
每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y(件)11985
(1)畫出散點圖;
(2)已知y對x有線性相關(guān)關(guān)系,求回歸方程;
(3)若實際生產(chǎn)中,允許每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為10個,那么機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
附:線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$.中,$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}-\stackrel{∧}\overline{x}$,其中$\overline{x}$,$\overline{y}$為樣本平均值.

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12.已知拋物線C的頂點為坐標原點,焦點為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A,B兩點,且線段AB的中點為M(2,2).
(1)求拋物線的C的方程;
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9.對于任意實數(shù)a、b、c、d,下列命題中,
①若a>b,c>d,則a-c>b-d;
②若a>b>0,c>d>0,則ac>bd;
③若a>b>0,則$\root{3}{a}$>$\root{3}$
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真命題的個數(shù)為( 。
A.1B.2C.3D.4

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16.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}3{x^2}-4,x>0\\ x+2,x=0\\-1,x<0\end{array}$,則$f(f(\frac{1}{2}))$=-1.

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6.已知首項為3的數(shù)列{an}滿足:$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{3}$,且bn=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$.
(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{2n•bn}的前n項和Tn

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6.已知f(x2+1)=$\frac{x}{{2{x^2}+3}}$(x>0),則f(x)=( 。
A.$\frac{{\sqrt{x-1}}}{2x+1}$B.$-\frac{{\sqrt{x-1}}}{2x+1}$C.$\frac{{\sqrt{x}}}{2x+3}$D.$-\frac{{\sqrt{x}}}{2x+3}$

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3.在長為3的線段上任取一點,則該點到兩端點的距離都不小于1的概率為(  )
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{4}{9}$D.$\frac{5}{9}$

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4.計算:
(1)${27^{\frac{2}{3}}}-{2^{{{log}_2}3}}×{log_2}\frac{1}{8}$;
(2)$\frac{1}{{\sqrt{5}-2}}-{(\sqrt{5}+2)^0}-\sqrt{{{({2-\sqrt{5}})}^2}}$.

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