Question

圍棋對(duì)局中，執(zhí)黑棋者先下，執(zhí)白棋者后下．一次圍棋比賽中，甲乙進(jìn)入最后的冠軍爭(zhēng)奪戰(zhàn)，決賽規(guī)則是三局兩勝制（即三局比賽中，誰(shuí)先贏得兩局，就獲得冠軍），假定每局比賽沒(méi)有平局，且每局比賽由裁判扔硬幣決定誰(shuí)執(zhí)黑棋．根據(jù)甲乙雙方以往對(duì)局記錄，甲執(zhí)黑棋對(duì)乙的勝率為，甲執(zhí)白棋對(duì)乙的勝率為．
（1）求乙在一局比賽中獲勝的概率；
（2）若冠軍獲得獎(jiǎng)金10萬(wàn)元，亞軍獲得獎(jiǎng)金5萬(wàn)元，且每局比賽勝方獲得獎(jiǎng)金1萬(wàn)元，負(fù)方獲得獎(jiǎng)金0.5萬(wàn)元，記甲在決賽中獲得獎(jiǎng)金數(shù)為X萬(wàn)元．求X的分布列和期望EX．

Answer 1

解：（1）∵甲執(zhí)黑棋對(duì)乙的勝率為，甲執(zhí)白棋對(duì)乙的勝率為．
∴乙在一局比賽中獲勝的概率為…（5分）
（2）X取值為6，7，12或12.5，甲在一局比賽中獲勝概率為，則
…（6分）…（7分）
…（8分）…（9分）
∴X的分布列為

X	6	7	12	12.5
P

…．．（10分）
∴…．．（12分）
分析：（1）根據(jù)甲執(zhí)黑棋對(duì)乙的勝率為，甲執(zhí)白棋對(duì)乙的勝率為，利用互斥事件的概率公式，可求乙在一局比賽中獲勝的概率；
（2）X取值為6，7，12或12.5，求出甲在一局比賽中獲勝概率，從而可求相應(yīng)取值的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．