Question

（1）已知函數(shù)f（x²-3）=x⁴-6x²+1，求f（x）的解析式，并求定義域；
（2）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x（1-x）+1，求x∈R時，f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x²-3=t，則：x²=t+3，（t≥-3），從而f（t）=（t+3）²-6（t+3）+1=t²-8，整理替換即可．
（2）先利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，利用奇函數(shù)的定義求出函數(shù)f（x）的解析式．

解答： 解：（1）令x²-3=t，則：x²=t+3，（t≥-3），
∴f（t）=（t+3）²-6（t+3）+1=t²-8，
∴f（x）=x²-8（x≥-3）．
（2）解：由題意，當x=0時，f（x）=0
∵當x＞0時，f（x）=x（1-x）+1，
∴當x＜0時，-x＞0，f（-x）=-x（1+x）+1，
又∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴x＜0時，f（x）=-f（-x）=x（1+x）-1
綜上所述，f（x）=

x(1-x)+1，x＞0 0，x=0 x(1+x)-1，x＜0

，．

點評：本題考查了求函數(shù)的解析式問題，換元法是常用的方法之一，同時考查了奇偶性的應(yīng)用．若已知一個函數(shù)為奇函數(shù)，則應(yīng)有其定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)的一切x都有f（-x）=-f（x）成立．