Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，a∈R

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；

（2）求g（x）=f（x）+ax在x=1處的切線方程；

（3）若在區(qū)間（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最大值，最小值．（2）；（3）．

【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)，明確函數(shù)的單調(diào)性，即可得到f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率g′（1）=a，結(jié)合點(diǎn)斜式得到切線方程；

(3)求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）=．對(duì)a分類討論，明確函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（1）當(dāng)a=1時(shí)，，=．

對(duì)于x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增．

∴f（x）max=f（e）=，．

（2）g（x）=，g（1）=．

g′（x）=（2a-1）x-a+，g′（1）=a．

∴g（x）=f（x）+ax在x=1處的切線方程是=a（x-1），即；

（3）函數(shù)f（x）=（a-）x2-2ax+lnx，

f′（x）==，x >1，

（i）當(dāng)a時(shí)，恒有f′（x）＜0，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減．

要滿足在區(qū)間（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，則f（1）=-a-≤0即可，解得．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

（ii）當(dāng)a時(shí)，令f′（x）=0，解得x1=1，．

①當(dāng)1=x1＜x2時(shí)，即時(shí)，在區(qū)間（x2，+∞）上有f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意，應(yīng)舍去．

②當(dāng)x2≤x1=1時(shí)，即a≥1，在區(qū)間（1，+∞）上有f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增，不合題意．

綜上（i）（ii）可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍是．