(本小題滿分12分)
已知梯形中,,
,、分別是上的點(diǎn),,,的中點(diǎn)。沿將梯形翻折,使平面⊥平面 (如圖) .

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證: ;
(Ⅱ)以為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為,求的最大值;
(Ⅲ)當(dāng)取得最大值時(shí),求鈍二面角的余弦值.
(1)∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz。則A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0)
(-2,2,2),(2,2,0)(-2,2,2)(2,2,0)=0,
 

(另解)作DH⊥EF于H,連BH,GH,由平面平面知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH。又四邊形BGHE為正方形,∴EG⊥BH,
BHDH=H,故EG⊥平面DBH,而BD平面DBH,∴ EG⊥BD。           4分
(2)∵AD∥面BFC,所以VA-BFC4(4-x)x
時(shí)有最大值為。     8分

(3)設(shè)平面DBF的法向量為,∵AE="2," B(2,0,0),D(0,2,2),
F(0,3,0),∴(-2,2,2),則 ,即
取x=3,則y=2,z=1,∴ 面BCF的一個(gè)法向量為    則cos<>= 由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角,所以此二面角的余弦值為-         
(另解)作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,連DM。由三垂線定理知 BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補(bǔ)角。由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,,∴HM=。又DH=2,∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-,因∠DMH為銳角,∴cos∠DMH=, 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補(bǔ)角,
故二面角D-BF-C的余弦值為-。      12分
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,在四棱柱中,底面是正方形,側(cè)棱與底面垂直,點(diǎn)是正方形對(duì)角線的交點(diǎn),,點(diǎn)分別在上,且

(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)若,求的長(zhǎng);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求二面角的余弦值.

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如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為1的菱形,, 底面, ,的中點(diǎn).
(Ⅰ)、求異面直線AB與MD所成角的大小;
(Ⅱ)、求平面與平面所成的二面角的余弦值.

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(本小題滿分12分)
如圖,為正三角形,平面,的中點(diǎn),

(1)求證:DM//面ABC;   
(2)平面平面
(3)求直線AD與面AEC所成角的正弦值;

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.(本小題滿分12分)如圖,在正方體中,
、分別為棱、的中點(diǎn).
(1)求證:∥平面;
(2)求證:平面⊥平面;
(3)如果,一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在正方體的
表面上依次經(jīng)過棱、、、、上的點(diǎn),最終又回到點(diǎn),指出整個(gè)路線長(zhǎng)度的最小值并說明理由.

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(12分)
在三棱錐中,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。

(1)證明:
(2)求二面角N-CM-B的大;
(3)求點(diǎn)B到平面CMN的距離。

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在菱形中,,線段的中點(diǎn)是,現(xiàn)將沿折起到的位置,使平面和平面垂直,線段的中點(diǎn)是

⑴證明:直線∥平面;
⑵判斷平面和平面是否垂直,并證明你的結(jié)論.

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A.直線平面AB1C1B.直線OA1//直線BD1
C.直線直線ADD.直線OA1//平面CB1D1

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