Question

已知f（x）定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=x（x-2）．
（1）求x＜0時的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f²（x）-f（x）+t=0的方程有6個不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合當(dāng)x≥0時，f（x）=x（x-2），可求出x＜0時函數(shù)的表達(dá)式
（2）利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元二次方程，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，
∵當(dāng)x≥0時，f（x）=x（x-2）；
∴f（-x）=-x（-x-2），
∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=-x（-x-2）=-f（x），
∴f（x）=-x（x+2），x＜0，
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)m=f（x），則當(dāng)m＞1或m＜-1時，方程有1個根，
當(dāng)m=1或m=-1時，方程有2個根，
當(dāng)-1＜m＜1時，方程有3個根，
則f²（x）-f（x）+t=0等價(jià)為m²-m+t=0，
要使f²（x）-f（x）+t=0的方程有6個不相等的實(shí)根，
則等價(jià)為方程m²-m+t=0有兩個不同的根且-1＜m＜1，
設(shè)g（m）=m²-m+t，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線m=

1

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對稱，
則滿足

△=1-4t＞0 g(1)=t＞0 g(-1)=2+t＞0

，
解得：0＜t＜

1

4

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及方程根的個數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．