Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（1）；
（2）求證：f（x²）-2f（x）=0
（3）已知f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，解不等式f[x（x-

1

2

）]＜0．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=1，即可求出f（1）；（2）只需令y=x，即可得證；
（3）首先將原不等式等價為f[x（x-

1

2

）]＜f（1），再由f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，得到不等式組，解出它們即可．

解答： （1）解：令x=y=1，則f（1）=2f（1），即有f（1）=0；
（2）證明：由于f（x•y）=f（x）+f（y），
令y=x，則f（x²）=2f（x），即有f（x²）-2f（x）=0；
（3）解：∵f（1）=0，
∴f[x（x-

1

2

）]＜0，即f[x（x-

1

2

）]＜f（1），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴

x(x- 1 2 )＞0 x(x- 1 2 )＜1

即

x＞ 1 2 或x＜0 1- 17 4 ＜x＜ 1+ 17 4

，
∴

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0．
∴原不等式的解集為（

1

2

，

1+ 17

4

）∪（

1- 17

4

，0）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，注意函數(shù)的定義域的應(yīng)用，屬于易錯題．