Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+Φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜Φ＜

π

2

）的圖象與x軸交點(diǎn)為(-

π

6

，0)，相鄰最高點(diǎn)坐標(biāo)為(

π

12

，1)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的最值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的最大值得到A=1，由相鄰的零點(diǎn)與最大值的距離得到周期，進(jìn)而得到ω=2，最后利用當(dāng)x=

π

12

時(shí)，函數(shù)有最大值為1，求出φ=

π

3

，得出函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)x的范圍得出2x+

π

3

的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不難得出函數(shù)f（x）在[0，π]上的最大最小值．

解答：解：（1）∵高點(diǎn)坐標(biāo)為(

π

12

，1)，∴正數(shù)A=1
∵函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為(-

π

6

，0)，相鄰最高點(diǎn)坐標(biāo)為(

π

12

，1)．
∴函數(shù)周期為T(mén)=4（

π

12

+

π

6

）=π，可得ω=

2π

T

=2，函數(shù)表達(dá)式為f（x）=sin（2x+Φ）
∵當(dāng)x=

π

12

時(shí)，函數(shù)有最大值為1，
∴2•

π

12

+φ=

π

2

+2kπ，（k∈Z），結(jié)合-

π

2

＜Φ＜

π

2

，取k=0得φ=

π

3

因此，函數(shù)f（x）的表達(dá)式是f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（2）∵x∈[0，π]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]
∴當(dāng)x=

π

12

時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（2×

π

12

+

π

3

）=sin

π

2

=1，達(dá)到最大值1；
當(dāng)x=

7π

12

時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（2×

7π

12

+

π

3

）sin

3π

2

=-1，達(dá)到最小值-1．
即函數(shù)f（x）在[0，π]上的最大值是f（

π

12

）=1；最小值是f（

7π

12

）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的三角函數(shù)，在已知其一個(gè)零點(diǎn)和最大值點(diǎn)情況下求函數(shù)解析式，并求它在閉區(qū)間上的最值，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．