Question

8．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)D₁為棱PD的中點(diǎn)，過D₁作與平面ABCD平行的平面與棱PA，PB，PC相交于A₁，B₁，C₁，∠BAD=60°．
（1）證明：B₁為PB的中點(diǎn)；
（2）已知棱錐的高為3，且AB=2，AC、BD的交點(diǎn)為O，連接B₁O．求三棱錐B₁-ABO外接球的體積．

Answer 1

分析 （1）由面面平行的性質(zhì)可得BD∥B₁D₁，故$\frac{P{B}_{1}}{PB}=\frac{P{D}_{1}}{PD}=\frac{1}{2}$，于是B₁為PB的中點(diǎn)；
（2）由OA，OB，OB₁兩兩垂直可知三棱錐B₁-ABO外接球是以O(shè)A、OB、OB₁為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的外接球．于是長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑．

解答 解：（1）連結(jié)B₁D₁
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，平面PBD∩平面ABCD=BD，平面PBD∩平面A₁B₁C₁D₁=B₁D₁，
∴BD∥B₁D₁，
∴$\frac{P{B}_{1}}{PB}=\frac{P{D}_{1}}{PD}=\frac{1}{2}$，
∴B₁為PB中點(diǎn)．
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，OA⊥OB．
∴OB=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AB$=1，OA=$\sqrt{3}OB$=$\sqrt{3}$，
∵B₁，O是PB，BD的中點(diǎn)，
∴OB₁∥PD，OB₁=$\frac{1}{2}PD$=$\frac{3}{2}$．
∵PD⊥平面ABCD，
∴OB₁⊥平面ABCD，∵OA?平面ABCD，OB?平面ABCD，
∴OA⊥OB₁，OB⊥OB₁，
∴三棱錐B₁-ABO外接球是以O(shè)A、OB、OB₁為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體外接球，
∴三棱錐B₁-ABO外接球的半徑R=$\frac{1}{2}$$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}+O{{B}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{3+1+\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{4}$．
則三棱錐B₁-ABO外接球的體積為$V=\frac{4}{3}π{R^3}=\frac{4}{3}π{（\frac{5}{4}）^3}=\frac{125π}{48}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到面面的平行關(guān)系在立體幾何中的應(yīng)用．本小題對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求．